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美的数学のすすめ

初等整数論のうち、平方剰余の相互法則の意味を当面の目標としたいと思います。ゆくゆくは、ガウス和、円分体論まで到達したいです。

円分体のガロア対応

前々回、ガロア対応の超入門を説明しました。今回は、それを円分体に応用してみます。 ガロア対応超入門 - 美的数学のすすめbiteki-math.hatenablog.com ガロア対応を円分体に応用すると、ガウス周期と、ガロア群の部分群との関係が分かります。ガウスはガロ…

既約剰余類群の部分群

円分体のガロア群\(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q})\)は、\( (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\)と同型ですので、ガロア対応を考えるには\( (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\)の部分群が必要となります。今回は、\( (\mathbb{Z}/p\math…

正17角形とガウス周期

今から219年前の今日、3月30日は、ガウス(Gauss)が正17角形の作図可能性に気がついた日です。そこで、今日は、正17角形の作図可能性について書いてみます。 1796年3月30日の朝、ガウスは目覚めてベットから起きた刹那に、正17角形が作図可能であると気がつ…

n=13の場合のガウス周期

前回は\(n=7\)の場合のガウス周期(Gaussian period)を解説しました。 n=7の場合のガウス周期 - 美的数学のすすめbiteki-math.hatenablog.com 今回は、\(n=13\)の場合のガウス周期を考えます。\(n-1=12\)の約数は12,6,4,3,2,1ですので、これらの周期が作れる…

n=7の場合のガウス周期

前回ガウス和の具体例を\(n=5,7,11,13\)の場合について計算してみました。 ガウス和 - 美的数学のすすめbiteki-math.hatenablog.com 前回計算したガウス和は、最もポピュラーなものではありますが、厳密には2次のガウス和と呼ばれているものです。これから2…